# PedroCarvalho comments on The Cartoon Guide to Löb’s Theorem

• Yrg’f frr, V xabj sbe n snpg gung ¬(CN ⊢ (◻P → P) → P), gung vf, gung guvf fhccbfrq “nccyvpngvba” bs gur Qrqhpgvba Gurberz qb Yöo’f Gurberz vf abg n gurberz bs CN.

Yöo’f Gurberz vgfrys vf whfg gung -

Buuuu tbg vg.

Yöo’f Gurberz fnlf gung vs CN ⊢ ◻P → P, gura CN ⊢ P; be, fvzcyl, gung CN ⊢ ◻(◻P → P) → ◻P. Gur Qrqhpgvba Gurberz fnlf gung sbe “ernfbanoyr” (va n pregnva frafr) qrqhpgvir flfgrzf va svefg-beqre ybtvp naq nal frg bs nkvbzf Δ, vs vg’f gur pnfr gung, sbe fbzr N naq O, Δ ∪ {N} ⊢ O, gura Δ ⊢ N → O. Ubjrire, vg vf abg gur pnfr gung CN ∪ {◻P → P} ⊢ P, fvapr CN ∪ {◻P → P, ¬P} vf cresrpgyl pbafvfgrag (vss CN vf nyfb pbafvfgrag) naq vzcyvrf ¬◻P.

Be, va bgure jbeqf, nqqvat gur nkvbz ◻P → P gb CN sbe nal P bayl znxrf P n gurberz bs CN vs ◻P vf nyernql gurberz bs CN; ubjrire, ernfbavat “bhgfvqr” bs CN, jr xabj nyernql gung vs CN ⊢ ◻P gura CN ⊢ P (juvpu pna nyfb or sbeznyvfrq nf CN ⊢ ◻◻P → ◻P, juvpu vf n gurberz bs CN), fb nqqvat ◻P → P gb CN qbrf abg va snpg znxr CN “fgebatre” guna vg jnf orsber va nal zrnavatshy frafr, naq whfg znxrf CN gehfg vgf cebbs bs P, vs vg rire svaqf nal.

Gur pbeerpg nccyvpngvba bs gur Qrqhpgvba Gurberz gb Yöo’f Gurberz fnlf gung CN ∪ {◻(◻P → P)} ⊢ ◻P, juvpu jr nyernql xabj gb or gehr (orpnhfr… gung’f Yöo’f Gurberz), ohg fvapr ◻P → P vf abg va trareny n gurberz bs CN, guvf qbrf abg thnenagrr gung P jvyy or gehr. Naq phevbhfyl, guvf vzcyvrf gung nqqvat rvgure ◻(◻P → P) sbe nyy P be ◻P → P sbe nyy P gb CN qbrfa’g znxr CN nal fgebatre—qbvat gur sbezre npghnyyl eraqref ◻ rssrpgviryl zrnavatyrff, fvapr gura ◻P jvyy or gehr sbe nyy P, naq vg jvyy ab ybatre ercerfrag svaqvat n Töqry Ahzore bs n cebbs bs P, fb bar pbhyq fnl gung vg znxrf CN “jrnxre” va fbzr ybbfr frafr -, ohg nqqvat obgu sbe nyy P znxrf vg vapbafvfgrag.